This week the #puzzle is: Can You Permeate the Pyramid?

Consider the following figure, which shows 16 points arranged in a rhombus shape and connected to their neighbors by edges. How many distinct paths are there from the top point to the bottom along the edges such that:

– You never visit the same point twice. – You only move downward or sideways—never upward.

And for extra credit:

Consider the following figure, which shows 30 points arranged in a three-dimensional triangular bipyramid. As before, points are connected to their neighbors by edges. How many distinct paths are there from the top point to the bottom along the edges such that:

– You never visit the same point twice. – You only move downward or sideways—never upward.

Highlight to reveal (possibly incorrect) solution:

Program 1.

Let’s number the layers from the top, 1, 2, … 7.

How many paths from layer 6 to 7? Let’s call layer 6 h and i, and layer 7 x.

From h I can go directly to x or through i. For symmetry reasons, i is similar. So, 2 paths from h to x, 2 from i to x. (2 * 2 = 4 in all.)

How many paths from layer 5 to 7? Let’s call layer 5 a, b and c.

From a I can go directly to h or through b. From b I can go directly to h or through a. From c I can go through b to h or through b and a to h. Similarly there are 2 paths from a to i, 2 from b to i and 2 from c to i. When I get to layer 6, there are 2 possible paths to get to x. So, 2 * 2 = 4 paths from a to layer 6, and the same for b and c. All the way from a to x is 4 * 2 = 8. (3 * 8 = 24 in all.)

Let’s write this differently.

Let p(n) be the number of paths from an element in a layer with n elements to layer 7. (Layer 4-7.)

p(1) = 1. There’s only 1 way to do this, stand very still.

p(2) = 2, as we’ve seen.

p(3) = 8 = 2 * 2 * p(2).

In general this is p(n+1) = 2n * p(n).

p(4) = 2 * 3 * 8 = 48.

Now we have to go the other way.

Time to rename the elements.

How many paths from layer 3 to 7? Let’s call layer 3 a, b and c, and layer 4 w, x, y and z.

I can go from a directly to w. From a to x directly or through b. From a to y through b or through b and c. From a to z through b and c. 6 paths from a to layer 4. The same for c.

I can go from b to w through a. From b to x directly or through a. From b to y directly or through c. From b to z through c. Again, 6 paths from b to layer 4.

Let q(n) be the number of paths from an element in a layer with n elements to layer 7. (Layer 1-4.)

q(4) = p(4) = 48.

q(3) = 6 * q(4) = 6 * 48 = 288.

In general this is q(n-1) = 2 * (n-1) * q(n).

q(2) = 2 * 2 * 288 = 1152.

q(1) = 2 * 1 * 1152 = 2304.

q(1) was the number we were looking for. I confirm 2304 is the correct number with a program.

And for extra credit:

Program 2. Program 3. Program 4.

I keep working with the program I wrote earlier. I write versions with 3, 5 and 7 layers. This time I generate the graph by hand. (It’s easier for me to draw it than to write the code.) I also optimize the code a little, only storing the number of paths instead of the paths themselves.

For 3 layers, there are 15 paths. For 5 layers, there are 11,475 paths. (Both of these fit with other programs, I tested out first.) And for 7 layers, there are 1,093,007,025 paths.

Anmeldelse af “We Will Teach You How to Read | We Will Teach You How to Read” (gratis), af Caroline M. Yoachim. Novelle. 2024. Nebula-nomineret, Hugo-finalist.

Skitse: Nogen (rumvæsner?) forsøger at kommunikere med os, men det er svært, fordi deres egen form for kommunikation er helt anderledes end vores.

Er det science fiction? Måske.

Temaer: Udover det her med at kommunikere på en helt anden måde, så hører vi også snipper af, at deres samfund er ved at dø, og at de unge ikke længere lærer at læse.

Er det godt? Tja. 👽👽☠️

Anmeldelse af “The Witch Trap”, af Jennifer Hudak . Novelle. 2024. Nebula-nomineret.

Skitse: En sko under gulvet holder heksen væk.

Er det science fiction? Nix. Mest fantasy.

Temaer: Vi hopper rundt mellem forskellige tekster, der handler om hekse. Det skal vist forestille, at gulvets ejer researcher fænomenet. Og så beslutter, hvad der skal ske med skoen.

I øvrigt synes hekse: Ned med patriarkatet.

Er det godt? Tjo. Af gode grunde fragmentarisk. 👽👽☠️

Anmeldelse af “The V*mpire” (gratis), af PH Lee. Novelle. 2024. Nebula-nomineret.

Skitse: Det er 2012 og på tumblr, og du er 14, og det giver bare mening at sige, at du er en pige. Er det okay at lade som om? Hvad er det der med trans? Og hvorfor er det forskelsbehandling ikke bare at invitere alle vampyrer ind i sit hjem?

Er det science fiction? Nix. Fantasy/horror.

Temaer: Øj, en ordentlig omgang “jamen, hvad er det okay at sige?”. Fordi det er ikke kun “de gode”, der retter dig. Og er det ikke altid okay at kalde, æhm, problematiske personer ved det navn? Være intolerant overfor de intolerante.

Psykisk og fysisk vold. Nok til at teksten starter med en advarsel.

Er det godt? Åh, den rammer noget. Sådan, lidt for meget. Av. 👽👽⭐

Anmeldelse af “Five Views of the Planet Tartarus” (gratis), af Rachael K. Jones. Novelle. 2024. Nebula-nomineret, Hugo-finalist.

Skitse: Et rumskib fyldt med fanger ankommer til planeten Tartarus og Orfeus-fabrikken.

Er det science fiction? Nemlig.

Temaer: Det er kun hvert 10. år, sådan et rumskib er der. Min fornemmelse er, at vi taler om uhyrlige forbrydelser og utænkelig straf, men det fremgår ikke eksplicit. En del af mekanismen er, at fabrikken giver evigt liv.

Teksten er ganske kort. Det virker som et godt valg.

Er det godt? Tja. 👽👽☠️

Anmeldelse af “Evan: A Remainder”  (gratis), af Jordan Kurella. Novelle. 2024. Nebula-nomineret.

Skitse: Da Evan sagde højt, at han faktisk er en mand, førte det til en skilsmisse og et nyt liv i en grim lejlighed. Han bliver optaget af en blodplet på gulvet, der bare ikke vil gå af, og af at spytte tænder (?) ud.

Er det science fiction? Det kan man vist ikke påstå. Horror, nutid.

Temaer: Noget med transformation. Noget med at acceptere hvem man er og har været.

Noget med knogler.

Noget med kærlighed.

Formen har hop i tid.

Er det godt? Jeg ved ikke, om det her er nyskabende. Det er i hvert fald ikke lige mig. 👽👽☠️

This week the #puzzle is: Can You Sweep the Series? #probability

And for extra credit:

Highlight to reveal (possibly incorrect) solution:

Program 1.

It’s easy to calculate p(4) (that Celtics wins in 4 games). It’s ^[ p^{4 ]}.

For p(5), we need 3 wins and 1 loss, and then 1 final win. The loss can be anywhere in the 4 first games. So this is p³ * (1-p)¹ * c(4, 1) * p = ^[ p⁴ * (1-p)¹ * 4 ^].

For p(6), we need 3 wins and 2 losses, and then 1 final win. The losses can be anywhere in the 5 first games. So this is p³ * (1-p)² * c(5, 2) * p = ^[ p⁴ * (1-p)² * 10 ^].

For p(7): p³ * (1-p)³ * c(6, 3) * p = ^[ p⁴ * (1-p)³ * 20 ^].

We need ^[ p⁴ * (1-p)¹ * 4 ^] > ^[ p^{4 ]}, ^[ p⁴ * (1-p)¹ * 4 ^] > ^[ p⁴ * (1-p)² * 10 ^] and ^[ p⁴ * (1-p)¹ * 4 ^] > ^[ p⁴ * (1-p)³ * 20 ^].

For p(4):

• ^[ p⁴ * (1-p)¹ * 4 ^] > ^[ p^{4 ]}
• 1-p * 4 > 1
• 1-p > 1/4
• 1 – 1/4 > p
• 3/4 > p

For p(6):

• ^[ p⁴ * (1-p)¹ * 4 ^] > ^[ p⁴ * (1-p)² * 10 ^]
• 4 > (1-p) * 10
• 4/10 > 1-p
• p > 1 – 4/10
• p > 3/5

For p(7):

• ^[ p⁴ * (1-p)¹ * 4 ^] > ^[ p⁴ * (1-p)³ * 20 ^]
• 4 > (1-p)² * 20
• 4/20 > (1-p)²
• 1/5 > (1-p)²
• 1/√5 > 1-p
• p > 1 – 1/√5 ≈ 0.5528

0.5528 < 3/5

Therefore 3/5 < p < 3/4 or 0.6 < p < 0.75 should work. My program confirms this.

And for extra credit:

Program 2. WolframAlpha.

In my terms, p₄ = p(4) and p₇ = p(7) + p(-7), the latter being the probability that the Celtics loses in 7 games.

I didn’t specify p(-7) before. It’s p³ * (1-p)³ * c(6, 3) * (1-p) = ^[ p³ * (1-p)⁴ * 20 ^].

We have 0.6 < p < 0.75. We’re looking for the probability that p₄ > p₇. First let’s find the p’s, where this inequality holds.

• ^[ p^{4 ]} > ^[ p⁴ * (1-p)³ * 20 ^] + ^[ p³ * (1-p)⁴ * 20 ^]
• p⁴ > p³ * (1-p)³ * (p + 1-p) * 20
• p⁴ > p³ * (1-p)³ * 20
• p > (1-p)³ * 20

A quick visit to WolframAlpha reveals, that p > 0.6766.

As p is chosen randomly, 0.6 < p < 0.75, and the inequality holds when 0.6766 < p, the number we’re looking for is (0.75 – 0.6766) / (0.75 – 0.6) = 0.4893. My 1st program somewhat confirms this. Program 2 also lands in this general vicinity.

Anmeldelse af “Din kr0p er v0res”, af #CoryDoctorow. Novelle. 2024. Så fremmed et sted.

Skitse: Siden Liam døde, der har Murray ikke rigtig kunnet passe sit job som programmør. Han bliver stille og roligt flyttet over på noget mindre farligt, nemlig at skrive dokumentation. Livet begynder at virke lidt igen. Men så dukker Liam pludselig op, ikke spor død.

Er det science fiction? Absolut.

Temaer: Det er jo et smaddergodt spørgsmål, hvad der er med Liam, og svaret handler bl.a. om programmering.

Så sniger et nyt spørgsmål sig ind. Når man har et fantastisk stykke software, hvad skal man så gøre med det? Holde det for sig selv og sine nærmeste venner i militæret og/eller efterretningstjenesten og/eller politiet? Sætte det frit til salg? Forære det væk? Måske en kombination?

Er det godt? Som sædvanlig en fin historie. 👽👽👽

Anmeldelse af “Supermanden og udflytteren”, af #CoryDoctorow. Novelle. 2024. Så fremmed et sted.

Skitse: Supermands hemmelige identitet er den canadiske, jødiske Hershie. Han synes selv, at han bør støtte demonstrationer imod krig, specielt nu hvor Udflytterne har inviteret Jorden ind i den Galaktiske Føderation, hvor krig ligesom ikke længere er noget, man bruger. Men hans mor synes, det lugter af ballade.

Er det science fiction? Åh ja.

Temaer: Hershie har ikke længere samme kurs som regeringen, og det giver alle mulige problemer, inkl. økonomiske. Såsom: Skal han betale skat? (Første gang, jeg læste den her historie, bed jeg virkelig mærke i det spørgsmål.)

Er det godt? Nemlig. 👽👽👽